Los Sistemas Númericos
Un sistema numérico es un conjunto de símbolos y reglas provisto de dos operaciones que verifican ciertas condiciones relacionadas con las propiedades conmutativa, asociativa y distributiva. Los sistemas numéricos se caracterizan por tener una estructura algebraica (monoide, anillo, cuerpo, álgebra sobre un cuerpo), satisfacer propiedades de orden (orden total, buen orden) y propiedades topológicas y analíticas (densidad, metrizabilidad, completitud) adicionales. En esta entrada estudiaremos los sistemas numéricos decimal, binario, octal y hexadecimal, sus caracteristicas, aplicaciones y la manera de cambiar de un sistema a los demas.
Sistema Decimal
El sistema de numeración decimal, también llamado sistema decimal, es un sistema de numeración posicional en el que las cantidades se representan utilizando como base aritmética las potencias del número diez. El conjunto de símbolos utilizado (sistema de numeración arábiga) se compone de diez cifras : cero (0) , uno (1) , dos (2) , tres (3) , cuatro (4) , cinco (5) , seis (6) , siete (7) , ocho (8) y nueve (9).
Al ser posicional, el sistema decimal es un sistema de numeración en el cual el valor de cada dígito depende de su posición dentro del número. Para números enteros, comenzando de derecha a izquierda, el primer dígito le corresponde el lugar de las unidades, de manera que el dígito se multiplica por 100 (es decir 1) ; el siguiente dígito corresponde a las decenas (se multiplica por 101 = 10); el siguiente a las centenas (se multiplica por 102 = 100); el siguiente a las unidades de millar (se multiplica por 103 = 1000) y así sucesivamente. Para entender eso con mayor claridad veamos la forma en la que se construye el número 6802.
El sistema decimal es el sistema que mas usamos a diario como por ejemplo cuando hablamos de dinero, peso, longitud, temperatura, superficies entre muchos otros.
Sistema Binario
Es un sistema de numeración posicional en el que las cantidades se representan utilizando como base aritmética las potencias del número dos. En el, los números se representan utilizando solamente dos cifras: cero y uno (0 y 1). Es uno de los sistemas que se utilizan en las computadoras, debido a que estas trabajan internamente con dos niveles de voltaje, por lo cual su sistema de numeración natural es el sistema binario.
Al igual que en el sistema decimal, el valor de cada digito depende de la posición, representando una potencia de dos (2), como se ve a continuación.
Comenzando de derecha a izquierda, el primer dígito le corresponde el lugar de las unidades, de manera que el dígito se multiplica por 20 (es decir 1) ; el siguiente dígito corresponde a los doses (se multiplica por 21 = 2); el siguiente a los cuatros (se multiplica por 22 = 4); el siguiente a los ochos (se multiplica por 23 = 8) y así sucesivamente. Para la parte fraccionaria se procede de igual maner pero de izquierda a derecha y con el exponente negativo, así que comenzamos con 2 -1 = 1⁄2, la siguiente sifra se multiplica por 2 -2 = 1⁄4, la siguiente por 2 -3 = 1⁄8 y así sucesivamente.
La principal aplicacion que tenemos del sistema binario es en la tecnología digital. Todo lo que sea digital, trabaja con este sistema, por ejemplo cuando tu prendes un foco es 1 cuando lo tienes apagado es un 0, en las imagenes son puros 1nos y 0ros los que codifican los pixeles de las pantallas, o en los sistemas de memoria, ya que un bit esta representado ua sea por un cero o un uno, dependiendo del estado en el que se encuentre, y el conjunto de ocho bits forma un byte, que es la unidad de información con la que funcionan todos los sistemas digitales modernos.
Sistema Octal
El sistema de numeración octal es un sistema de numeración posicional en el que las cantidades se representan utilizando como base aritmética las potencias del número ocho. El conjunto de símbolos utilizado (sistema de numeración arábiga) se compone de ocho cifras : cero (0) , uno (1) , dos (2) , tres (3) , cuatro (4) , cinco (5) , seis (6) y el siete (7).
En este sistema de numeración el valor de cada dígito depende de su posición dentro del número. Para números enteros, comenzando de derecha a izquierda, el primer dígito le corresponde el lugar de las unidades, de manera que el dígito se multiplica por 80 (es decir 1) ; el siguiente dígito corresponde a los ochos (se multiplica por 81 = 8); el siguiente a los sesenta y cuatro (se multiplica por 82 = 64); el siguiente corresponde a 83 = 512 y así sucesivamente. Para entender eso con mayor claridad veamos la forma en la que se construye el número 421.
Dado que un byte esta formado por un conjunto de ocho elementos, uno de los usos más comunes del sistema octal es la representación de los bytes, ya que en este sistema resultan menos extensos que en el sistema binario.
Sistema Hexadecimal
El sistema de numeración hexadecimal es un sistema de numeración posicional en el que las cantidades se representan utilizando como base aritmética las potencias del número 16. El conjunto de símbolos utilizado se compone de diez y séis cifras : cero (0) , uno (1) , dos (2) , tres (3) , cuatro (4) , cinco (5) , seis (6) , siete (7) , ocho (8) , nueve (9), letra a (A), letra b (B), letra c (C), letra d (D), letra e (E) y letra f (F).
Al ser posicional cada dígito depende de su posición dentro del número. Para números enteros, comenzando de derecha a izquierda, el primer dígito le corresponde el lugar de las unidades, de manera que el dígito se multiplica por 160 (es decir 1) ; el siguiente dígito corresponde a llos diez y séis (se multiplica por 161 = 16); el siguiente a 162 = 256, el siguiente a 163 = 4096 y así sucesivamente. Para entender eso con mayor claridad veamos la forma en la que se construye el número 2B6.
El sistema hexadecimal es muy usado en el campo de los microprocesadores o PIC’s (Circuito programable integrado). Para poder programar un microprocesador es necesario un software de programación como: MP lab, Micro code, etc. Estos softwares utilizan lenguaje C mediante el cual crearemos un pseudocodigo el cual le dará órdenes a muestro Pic, aquí entra nuevamente el lenguaje hexadecimal ya que al compilar nuestro algoritmo, se nos generará un archivo con extensión (.hex) el cual usaremos para quemar la orden en muestro microcontrolador.
Otro uso es en la escala de colores RGB, que es un espacio de color basado en la mezcla de los 3 colores primarios aditivos: ROJO, VERDE y AZUL. El sistema HEXADECIMAL representa los colores RGB a través de 3 pares de números hexadecimales (#RRGGBB), donde RR es el valor de la componente roja, GG la componente verde y BB la azul. Los valores que puede adoptar cada uno de los tres pares de hexadecimales van del 00 (0 decimal) al FF (255 decimal). En este caso, cuanto mayor sea el valor del par, mayor será la intensidad del color y viceversa. Esto implica que el extremo inferior de la escala cromática parte de una intensidad de color mínima (nulo =00), pasa por una intensidad de color media (mediano = par 80 [128 decimal]) hasta llegar a una intensidad de color máxima (saturado = par FF [255 decimal]).
Conversión Entre Sistemas
A continuación veremos que la forma de pasar de un sistema numérico a otro es muy simple. Comenzaremos con el sistema decima, luego el binario, y por ultimo el sistema octal y el hexadecimal.
Sistema Decimal.
El sistema decimal esta compuesto por los siguientes elementos.
Para convertir un número decimal al sistema binario lo dividimos entre dos, guardamos el resto y el cociente lo volvemos a dividir entre dos hasta obtener uno o cero. Finalmente organizamos los digitos de abajo hacia arriba como se ve en la siguiente figura.
Como podemos ver comenzamos dividiendo el 77 entre 2, lo cual nos da 38 que volvemos a dividir entre 2 y así hasta que finalmente dividimos 2 entre 2 y obtenemos un 1 final. El número binario correspondiente se obtiene reuniendo cada uno de los restos de cada división de abajor hacia arriba. Como un ejemplo adicional, veamos como se convierte el número 12 del sistema decimal al binario.
Para ver un video en el que se explica como pasar del sistema decimal al binario podemos hacer clic aquí.
A contiuación tenemos una herramienta interactiva que nos permite calcular la forma binaria de un número decimal positivo, solo ingresa el número en el recuadro y dale clic en el botón convertir.
Número Binario -->Ahora veamos como pasamos del decimal al sistema octal. Como la base del sistema octal es el número 8 entonces, dividimos el número decimal entre ocho, guardamos el resto, dividimos el cociente y repetimos esto hasta obtener un número menor a ocho. Como ejemplo vemoas la forma de pasar el 249 del sistema decimal al sistema octal.
Para ver un video en el que se explica como pasar del sistema decimal al octal podemos hacer clic aquí.
A contiuación tenemos una herramienta interactiva que nos permite calcular la forma octal de un número decimal positivo, solo ingresa el número en el recuadro y dale clic en el botón convertir.
Número Octal -->Para pasar el sistema decimal al hexadecimal se procede de la misma forma que en los casos anteriores, teniendo en cuenta que 16 es la base del sistema hexadecimal, por tanto las diviciones se hacen entre 16 y que para valores del resto mayores a 9 los números son representados como letras mayusculas, así 10 -> A, 11 -> B, 12 -> C, 13 -> D, 14 -> E y 15 -> F. Veamos un par de ejemplos de como se hace.
Para ver un video en el que se explica como pasar del sistema decimal al hexadecimal podemos hacer clic aquí.
A contiuación tenemos una herramienta interactiva que nos permite calcular la forma hexadecimal de un número decimal positivo, solo ingresa el número en el recuadro y dale clic en el botón convertir.
Número Hexadecimal -->Sistema Binario.
El sistema binario esta compuesto por los siguientes elementos.
Para convertir un número binario a decimal tenemos en cuenta que la posición de cada cifra representa una potencia de 2, así que multiplicamos cada digito binario por la potencia de dos donde el exponente del dos viene dado por la posicion que ocupa dicha cifra y luego sumamos el resultado de cada producto, con lo cual podemos obtener los números decimales como se ve en la siguiente tabla.
Tabla 1.Por ejemplo, para pasar el número "101" de binario a decimal multiplicamos el primer 1 por 20 , la siguiente cifra que es el cero, la multiplicamos por 21 y la tercer cifra la multiplicamos por 22 , y luego sumamos los resultados, como se ve a continuación.
Veamos un ejemplo más con el número 10011011:
Para ver un video en el que se explica como pasar del sistema binario al decimal podemos hacer clic aquí.
A contiuación tenemos una herramienta interactiva que nos permite calcular la forma decimal de un número binario, solo ingresa el número en el recuadro y dale clic en el botón convertir.
Número Decimal -->Para convertir un número binario a octal el porcedimiento es muy fácil, ya que cada cifra del sistema octal esta reprecentada de manera binaria por tres cifras tal y como se ve en la siguiente tabla:
Tabla 2.Así que lo que se debe hacer, es dividir el número binario en grupos de tres cifras, y pasar a octal cada grupo según la tabla anterior. Si el extremo izquierdo no se cuenta con las tres cifras se completa con ceros. Para entenderlo veamos como ejemplo la manera de pasar el número 10110010 del sistema binario al octa.
Para ver un video en el que se explica como pasar del sistema binario al octal podemos hacer clic aquí.
A contiuación tenemos una herramienta interactiva que nos permite calcular la forma octal de un número binario, solo ingresa el número en el recuadro y dale clic en el botón convertir.
Número Octal -->Ahora, para convertir un número binario a hexadecimal el porcedimiento es igualmente fácil, ya que cada cifra del sistema hexadecimal esta reprecentada de manera binaria por cuatro cifras tal y como se ve en la siguiente tabla:
Tabla 3.Así que lo que se debe hacer, es dividir el número binario en grupos de cuatro cifras, y pasar a hexadecimal cada grupo según la tabla anterior. Si el extremo izquierdo no se cuenta con las tres cifras se completa con ceros. Para entenderlo veamos como ejemplo la manera de pasar el número 011011010111110 del sistema binario al hexadecimal.
Para ver un video en el que se explica como pasar del sistema binario al hexadecimal podemos hacer clic aquí.
A contiuación tenemos una herramienta interactiva que nos permite calcular la forma hexadecimal de un número binario, solo ingresa el número en el recuadro y dale clic en el botón convertir.
Número Hexadecimal -->Sistema Octal.
El sistema octal esta compuesto por los siguientes elementos.
Para convertir un número octal a decimal tenemos en cuenta que la posición de cada cifra representa una potencia de 8, así que multiplicamos cada digito octal por la potencia de ocho, donde el exponente del ocho viene dado por la posicion que ocupa dicha cifra y luego sumamos el resultado de cada producto. Veamos como se realiza para el número 1057 en base octal.
Para ver un video en el que se explica como pasar del sistema octal al decimal podemos hacer clic aquí.
A contiuación tenemos una herramienta interactiva que nos permite calcular la forma decimal de un número octal, solo ingresa el número en el recuadro y dale clic en el botón convertir.
Número Decimal -->Para convertir un número octal a binario el procedimiento es muy fácil, ya que es el inverso que usamos para pasar del sistema binario al sistema octal. Cada cifra octal tiene su representacion en el sistema binario como vimos en la tabla 2, así que pasamos una a una las cifras del número octal a binario y luego los unimos. Veamos un ejemplo para el número 357
Para ver un video en el que se explica como pasar del sistema octal al binario podemos hacer clic aquí.
A contiuación tenemos una herramienta interactiva que nos permite calcular la forma binaria de un número octal, solo ingresa el número en el recuadro y dale clic en el botón convertir.
Número Binario -->Para convertir un número octal a hexadecimal no hay una método directo, asi que lo que hacemos es convertir el número octal a binario, y luego pasamos el número binario a hexadecimal. Como ejemplo veamos el procedimiento para el número 465.
Así vemos que el número octal 465 es equivalente al número hexadecimal 135.
Para ver un video en el que se explica como pasar del sistema octal al hexadecimal podemos hacer clic aquí.
A contiuación tenemos una herramienta interactiva que nos permite calcular la forma hexadecimal de un número octal, solo ingresa el número en el recuadro y dale clic en el botón convertir.
Número Hexadecimal -->Sistema Hexadecimal.
El sistema hexadecimal esta compuesto por los siguientes elementos.
Para convertir un número hexadecimal a decimal tenemos en cuenta que la posición de cada cifra representa una potencia de 16, así que multiplicamos cada digito hexadecimal por la potencia de diez y séis, donde el exponente del 16 viene dado por la posicion que ocupa dicha cifra y luego sumamos el resultado de cada producto. Veamos como se realiza para el número 12AF en base hexadecimal.
Para ver un video en el que se explica como pasar del sistema hexadecimal al decimal podemos hacer clic aquí.
A contiuación tenemos una herramienta interactiva que nos permite calcular la forma decimal de un número hexadecimal, solo ingresa el número en el recuadro y dale clic en el botón convertir.
Número Decimal -->Para convertir un número hexadecimal a binario el procedimiento es muy fácil, ya que es el inverso que usamos para pasar del sistema binario al sistema hexadecimal. Cada cifra hexadecimal tiene su representacion en el sistema binario como vimos en la tabla 3, así que pasamos una a una las cifras del número hexadecimal a binario y luego los unimos. Veamos un ejemplo para el número 4E5
Para ver un video en el que se explica como pasar del sistema hexadecimal al binario podemos hacer clic aquí.
A contiuación tenemos una herramienta interactiva que nos permite calcular la forma binaria de un número hexadecimal, solo ingresa el número en el recuadro y dale clic en el botón convertir.
Número Binario -->Para convertir un número hexadecimal a octal no hay una método directo, asi que lo que hacemos es convertir el número hexadecimal a binario, y luego pasamos el número binario a octal. Como ejemplo veamos el procedimiento para el número 4E5.
Así vemos que el número hezadecimal 4E5 es equivalente al número octal 2345.
Para ver un video en el que se explica como pasar del sistema hexadecimal al octal podemos hacer clic aquí.
A contiuación tenemos una herramienta interactiva que nos permite calcular la forma octal de un número hexadecimal, solo ingresa el número en el recuadro y dale clic en el botón convertir.
Número Octal -->Hemos visto que son los sistemas de numeración, como estan constituidos, sus aplicaciones y los métodos que hay para convertir un número en cualquier sistema a cualquier otro. Con esto llegamos al final de esta entrada.
Bibliografía
- Matemáticas discretas. Edward R. Scheinerman
- Estructuras de matemáticas discretas para la computación. Bernard Kolman, Robert C. Busby, Sharon Ross
- https://es.wikipedia.org
- https://www.youtube.com/
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